Entiers

Les nombres entiers sont l’ensemble des nombres positifs et négatifs, y compris zéro. Il est représenté par la lettre majuscule Ζ :

taille du style 16px nombres entiers gras gras égal style gras accolade gauche ... moins 4. espace moins 3 virgule moins 2 virgule moins 1 virgule 0 virgule 1 virgule 2 virgule 3 virgule 4 virgule ... accolade droite style de fin style de fin

Les entiers appartiennent aux nombres réels et incluent l’ensemble des nombres naturels, qui sont les entiers positifs. Les nombres négatifs sont apparus comme une nécessité pour le développement de l’algèbre.

Caractéristiques des nombres entiers

  • Les nombres entiers peuvent être positifs ou négatifs, par exemple -56, +56.
  • Ce ne sont pas des nombres fractionnaires, c’est-à-dire que 1/2, 1/3, 5/6 ne sont pas des nombres entiers.
  • Ce ne sont pas des nombres irrationnels, comme le nombre π, √2.
  • Ils ont un ordre, les nombres positifs sont supérieurs à 0 (le plus petit nombre positif est 1), les nombres négatifs sont inférieurs à zéro 0 (le plus grand nombre négatif est -1).
  • Ils sont infinis.

Propriétés des nombres entiers

Commutatif

Pour tous les entiers a et b, on a:

style taille 16px gras un gras plus gras b gras égal égal gras b gras plus gras un espace gras gras un gras multiplication croisée gras b gras égal égal gras b gras multiplication croisé gras à la fin du style

Exemple

style taille 16px gras 5 gras plus gras 2 gras même gras 2 gras plus gras 5 gras 10 gras moins gras 3 gras même gras moins gras 3 gras plus gras 10 style de fin

gras 5 gras multiplication croisée gras 3 gras égal gras 3 gras multiplication croisé gras 5 gras parenthèse gauche gras moins gras 5 gras parenthèse droite gras multiplication croisé gras 3 gras égal gras 3 gras multiplication croisé gras parenthèse gauche 5 gras moins gras parenthèse droite

Associatif

Pour tous les nombres entiers a, b et c, nous avons:

style taille 16px gras a gras plus style gras parenthèse gauche b plus c parenthèse droite fin style gras style égal style gras parenthèse gauche a plus b parenthèse droite fin gras style gras c gras a multiplication croisée gras style gras parenthèse gauche b multiplication croisée c fin de parenthèse droite style gras égal style gras parenthèse gauche a multiplication croisée b parenthèse droite fin style gras multiplication croisée gras c fin style

Exemple

style taille 16px gras 2 gras plus gras crochets gauches gras 3 gras moins gras 5 gras crochets droits gras même style gras crochets gauche 2 plus 3 crochets droits fin style gras moins gras 5 gras 2 gras plus gras crochets gauche gras moins gras 2 gras droit crochets gras égal style gras parenthèse gauche 5 parenthèse droite style de fin gras moins gras 5 style de fin

Distributif

Pour tous les nombres entiers a, b et c, nous avons:

style taille 16px gras style parenthèse gauche a plus b parenthèse droite fin style gras par gras c gras même gras a gras par c gras plus gras b gras par gras c fin style

Exemple

style taille 16 px style gras parenthèse gauche 5 plus 4 parenthèses droites fin style gras par gras 3 gras même gras 5 gras par gras 3 gras plus gras 4 gras par gras 3 style gras parenthèse gauche 9 parenthèses droites style de fin gras par gras 3 gras par gras 15 audacieux plus audacieux 12 audacieux 27 audacieux même audacieux 27 style d'extrémité

Identité

Il y a les entiers 0 et 1, tels que pour les entiers on a:

style taille 16px gras à gras plus gras 0 gras égal à gras à gras à gras multiplication croisée gras 1 gras égal à gras à fin style

Exemples

style taille 16px gras moins gras 10 gras plus gras 0 gras égal gras moins gras 10 gras parenthèse gauche gras moins gras 10 gras parenthèse droite gras multiplication croisée gras 1 gras égal gras moins gras 10 fin style

Ajout inversé

Pour tout entier a, il existe un entier négatif -a tel que:

style taille 16px gras à gras plus style gras parenthèse gauche moins à la parenthèse droite style de fin gras égal à gras 0 style de fin

Exemple

style taille 16px gras 4 gras plus gras parenthèse gauche gras moins gras 4 gras parenthèse droite gras égal gras 0 fin style

Entiers positifs

Pour tout entier positif a et b, le résultat de l’addition ou de la multiplication est également positif.

Exemple

style taille 16px gras 5 gras plus gras 4 gras égal gras 9 gras 5 gras multiplication croisée gras 4 gras égal gras 20 fin style

À quoi servent les entiers?

Dans l’ensemble des nombres entiers, il est possible d’effectuer des soustractions ou des soustractions, ce qui n’était pas possible dans l’ensemble des nombres naturels. Autrement dit, en nombres naturels, seul un nombre plus petit peut être soustrait d’un plus grand:

style taille 16px gras 10 gras moins gras 9 gras égal gras 1 gras 9 gras moins gras 10 gras égal gras?  style de fin

Dans l’ensemble Z, les soustractions peuvent être effectuées indépendamment de l’ordre des nombres:

style taille 16px gras 9 gras moins gras 10 gras égal égal gras moins gras 1 gras moins gras 10 gras plus gras 9 gras égal égal gras moins gras 1 fin style

Voir aussi les nombres réels.

Opérations mathématiques avec des entiers

Valeur absolue

La valeur absolue est désignée:

style taille 16px style gras barre verticale n style de fin de barre verticale égal à gras n gras virgule espace gras espace gras espace gras espace gras gras oui espace gras gras n gras supérieur à gras 0 point-virgule gras espace style gras barre verticale 3 extrémité de barre verticale style gras égal gras 3 style gras barre verticale n barre verticale fin style gras égal gras 0 gras virgule gras espace gras espace gras espace gras espace gras oui gras espace gras n gras égal gras 0 gras point-virgule gras espace style gras barre verticale 0 barre extrémité verticale gras style égal gras 0 style gras barre verticale n extrémité de la barre verticale style gras égal gras moins gras n gras virgule gras espace gras oui gras espace gras ngras moins que gras 0 gras point-virgule style gras espace barre verticale gras moins 3 fin de barre verticale style gras égal style gras moins gras parenthèse gauche gras moins 3 parenthèse droite style de fin gras égal gras style 3 fin

Ajouter des nombres entiers

Deux entiers n et p sont ajoutés selon la règle suivante:

style taille 16px gras Si gras espace gras n gras supérieur à gras 0 gras espace gras et gras espace gras p gras supérieur à gras 0 gras virgule gras espace gras puis gras espace gras s gras égal gras n gras plus gras p gras point-virgule gras espace gras 3 gras plus gras 5 gras égal gras 8 gras Si gras espace gras n gras moins que gras 0 gras espace gras et gras espace gras p gras moins que gras 0 gras virgule gras espace gras puis gras espace gras s gras égal égal gras moins style gras gauche parenthèse ouvrir barre verticale n fermer barre verticale plus barre verticale ouverte p fermer barre verticale parenthèse droite style de fin gras point-virgule gras parenthèse gauche gras moins gras 3gras parenthèse droite gras plus gras parenthèse gauche gras moins gras 5 gras parenthèse droite gras égal égal gras moins gras parenthèse gauche gras 3 gras plus gras 5 gras parenthèse droite gras égal gras moins gras 8 gras Oui gras espace gras n gras plus grand que gras 0 espace gras n gras espace gras et gras gras p gras moins que gras 0 espace gras style espace gras et gras barre verticale audacieuse n extrémité de la barre verticale style gras plus grand que style gras barre verticale p style de l'extrémité de la barre verticale virgule grasse espace gras gras puis espace gras gras s gras égal style gras barre verticale n extrémité de la barre verticale style gras moins style gras barre verticale p extrémité de la barre verticale style gras point-virgule gras espace gras 5gras plus gras entre parenthèses à gauche gras moins gras 3 gras entre parenthèses à droite gras égal égal gras 5 gras moins gras 3 gras égal gras 2 gras Oui gras espace gras n gras supérieur à gras 0 gras espace gras et gras 0 espace gras p espace gras moins que gras 0 espace gras p gras moins que gras gras et gras espace style gras barre verticale n barre verticale fin style gras moins que style gras barre verticale p barre verticale extrémité style gras virgule gras espace gras puis gras espace gras s gras égal gras moins gras parenthèse gauche style gras barre verticale p extrémité de la barre verticale style gras moins style gras barre verticale n extrémité de la barre verticale style gras parenthèse droite gras point-virgule gras 5 gras plus gras parenthèse gauche gras moinsgras 8 gras entre parenthèses à droite gras égal égal gras moins gras parenthèse gauche gras 8 gras moins gras 5 gras parenthèses à droite gras égal gras moins gras 3 fin style

Multiplication de nombres entiers

Deux nombres entiers sont multipliés (m) selon la règle suivante:

style taille 16px gras Si gras espace gras n gras supérieur à gras 0 gras espace gras et gras espace gras p gras supérieur à gras 0 gras virgule gras espace gras puis gras espace gras m gras égal à gras n gras par gras p gras point-virgule gras 5 gras par gras 3 gras égal gras 15 gras Si gras espace gras n gras moins que gras 0 gras espace gras et gras espace gras p gras moins que gras 0 gras virgule gras espace gras puis gras espace gras m gras égal style gras barre verticale n vertical style d'extrémité de barre gras par style barre verticale grasse p style d'extrémité de barre verticale gras crochets gauches gras moins gras 5 crochets droits gras gras par crochets gauche gras gras moinsgras 3 gras entre parenthèses droite gras égal gras 5 gras par gras 3 gras égal gras 15 gras Oui gras espace gras n gras moins que gras 0 gras espace gras et gras espace gras p gras supérieur à gras 0 gras si espace gras ou gras espace gras espace gras n gras supérieur à gras 0 gras espace gras et gras espace gras p gras moins que gras 0 gras virgule gras espace gras puis gras espace gras m gras égal égal gras moins gras parenthèse gauche style gras barre verticale n barre verticale style fin gras par style gras barre verticale p style de fin de barre verticale gras parenthèse droite gras parenthèse gauche gras moins gras 5 gras parenthèse droite gras par parenthèse gauche gras gras 3gras entre parenthèses droite gras égal gras moins gras parenthèse gauche gras 5 gras par gras 3 gras parenthèse droite gras égal gras moins gras 15 fin style

Division entière

La division est l’opération inverse de multiplication, où m = np, alors la division est p = m ÷ n:

style taille 16px gras 5 gras multiplication croisée gras 3 gras égal gras 15 gras double flèche droite gras espace gras 15 gras divisé par gras 3 gras égal gras 5 fin style

La division par 0 est interdite.

Voir aussi loi des signes.

Exercices avec des nombres entiers

1. Effectuez les opérations suivantes avec des nombres entiers:

gras 1 gras entre parenthèses à droite gras espace gras 234 gras plus gras 432 gras 2 gras entre parenthèses à droite gras gras espace 234 gras moins gras 432 gras 3 gras entre parenthèses à droite gras gras espace 35 gras multiplication croisée gras 12 droit gras espace 4 gras gras multiplication croisé gras crochets gauche gras moins gras 12 crochets droits gras gras 5 crochets droits gras espace gras gras crochets gauches gras moins gras 15 crochets droits gras multiplication croisée gras croisés gauches gras crochets droits moins gras 6 crochets droits gras 6 crochets droits gras espace gras espace gras crochets gauche gras moins gras 35 crochets droits gras gras diviséen gras entre crochets à gauche gras 5 en gras à droite en gras 7 en gras à droite en gras espace en gras entre en gras entre crochets à gauche gras moins gras 24 crochets à droite en gras gras divisé par des crochets en gras à gauche gras moins en gras 12 en gras à droite crochets à gauche en gras 8 en gras entre crochets à droite moins gras 24 gras moins gras 12 gras crochets droits gras multiplication croisée gras croisés gauches gras moins gras 2 gras crochets droits gras 9 gras crochets droits gras espace gras crochets gauche gras 535 gras plus gras 225 gras croisés droit gras 789 moins grasgras entre crochets à gauche gras moins gras 24 gras à droite gras divisé par gras entre crochets à gauche gras moins gras 12 gras à droite entre crochets gras 8 gras à droite espace gras gras crochets à gauche gras moins gras 24 gras moins gras 12 gras croisé gras crochets à droite parenthèse gauche gras moins gras 2 gras parenthèse droite gras 9 gras parenthèse droite gras espace gras parenthèse gauche gras 535 gras plus gras 225 gras parenthèse droite gras moins gras 789gras entre crochets à gauche gras moins gras 24 gras à droite gras divisé par gras entre crochets à gauche gras moins gras 12 gras à droite entre crochets gras 8 gras à droite espace gras gras crochets à gauche gras moins gras 24 gras moins gras 12 gras croisé gras crochets à droite parenthèse gauche gras moins gras 2 gras parenthèse droite gras 9 gras parenthèse droite gras espace gras parenthèse gauche gras 535 gras plus gras 225 gras parenthèse droite gras moins gras 789gras espace gras gauche parenthèse gras moins gras 24 gras moins gras 12 gras droite parenthèse gras multiplication croisé gras parenthèse gauche gras moins gras 2 gras parenthèse droite gras 9 gras parenthèse droite gras espace gras parenthèse gauche gras droit 535 gras plus gras parenthèse gauche gras droit 535 gras plus gras moins gras 789gras espace gras gauche parenthèse gras moins gras 24 gras moins gras 12 gras droite parenthèse gras multiplication croisé gras parenthèse gauche gras moins gras 2 gras parenthèse droite gras 9 gras parenthèse droite gras espace gras parenthèse gauche gras droit 535 gras plus gras parenthèse gauche gras droit 535 gras plus gras moins gras 789

Réponse: 1) 666; 2) -198; 3) 420; 4) -420; 5) 90; 6) -7; 7) 2; 8) 72; 9) -29.

 

2. Une personne gagnait 792 $ en janvier et 720 $ en février. Elle a dépensé 555 $ en janvier et 957 $ en février à l’épicerie. Quel est le solde final?

La personne a gagné entre janvier et février la somme de 792 + 720 = 1512. Il a dépensé entre janvier et février -555 + (- 957) = – 1512. Le solde de clôture est 1512-1512 = 0.

 

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