Factorisation

La factorisation ou la décomposition factorielle est le processus de présentation d’une expression mathématique ou d’un nombre sous forme de multiplication . N’oubliez pas que les facteurs sont les éléments de la multiplication et que le résultat est appelé le produit .

Types d’affacturage

De manière générale, on peut parler de deux types de factorisation: la factorisation des entiers et la factorisation des expressions algébriques.

Factorisation prime

Chaque nombre entier peut être décomposé en ses facteurs premiers . Un nombre premier est celui qui n’est divisible qu’entre 1 et lui-même. Par exemple, le 2 ne peut être divisé que par 1 et 2.

On peut décomposer un nombre X donné par la multiplication de ses facteurs premiers. Par exemple, le nombre 525 est égal à la multiplication de 52,3,7.

Factorisation d’expressions algébriques

Le but de la factorisation est de prendre un polynôme compliqué et de l’exprimer comme le produit de ses facteurs polynomiaux simples.

Sont appelés facteurs ou diviseurs d’une expression algébrique en expressions algébriques multipliées chacune étant donnée comme premier produit d’expression. Par exemple:

gras entre parenthèses à gauche gras x gras plus gras 3 gras entre parenthèses à droite gras entre parenthèses à gauche gras x gras plus gras 4 gras à droite gras égal à gras x élevé en gras 2 gras plus gras 7 gras x gras plus gras 12

Les facteurs sont:

gras entre parenthèses à gauche gras x gras plus gras 3 gras entre parenthèses à droite espace gras espace gras et gras espace ouvert parenthèse gras x gras plus gras 4 fermer les parenthèses

Comment factoriser

Quand on parle d’affacturage, on peut suivre les recommandations suivantes:

  • Observez s’il existe un facteur commun, c’est-à-dire s’il y a un facteur qui se répète dans les différents termes.
  • Ordonner l’expression: parfois, lors de l’organisation de l’expression, nous réalisons les possibilités d’affacturage.
  • Découvrez si l’expression est factorisable: parfois nous sommes en présence d’expressions qui ne peuvent pas être décomposées en facteurs.
  • Vérifiez si les facteurs trouvés sont à leur tour factorisables.

Étapes pour trouver le facteur commun d’un polynôme

Nous allons expliquer étape par étape comment trouver le facteur commun des termes dans le polynôme suivant:

gras 24 gras x élevé à gras 8 gras et élevé à gras 3 gras moins gras 16 gras x élevé à gras 6 gras et élevé à gras 7 gras z élevé à gras 3

Étape 1

Nous obtenons le plus grand facteur commun de 24 et 16. Les facteurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24; les facteurs de 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16. Le plus grand facteur commun est 8.

Étape 2

Nous obtenons les facteurs communs des variables, dans ce cas les variables communes avec la puissance commune la plus élevée. Les variables communes sont x et y . La plus grande puissance commune de x est x6 et la plus grande puissance commune de y est y3 .

Étape 3

Nous écrivons le facteur commun du polynôme comme le produit des étapes 1 et 2 ci-dessus:

gras 8 gras x élevé à gras 6 gras et élevé à gras 3

Factorisation des polynômes

Nous allons factoriser le polynôme suivant:

gras 24 gras x élevé à gras 8 gras et élevé à gras 3 gras moins gras 16 gras x élevé à gras 6 gras et élevé à gras 7 gras z élevé à gras 3

Étape 1

Nous déterminons le facteur commun du polynôme:

gras 8 gras x élevé à gras 6 gras et élevé à gras 3

Étape 2

Nous réécrivons chaque terme du polynôme comme un produit équivalent du facteur commun et du deuxième facteur:

gras 24 gras x élevé à gras 8 gras et élevé à gras 3 gras moins gras 16 gras x élevé à gras 6 gras et élevé à gras 7 gras z élevé à gras 3 même gras 8 gras x élevé à gras 6 gras et surélevé en gras 3 gras.  gras espace gras crochets gauche gras 3 gras x élevé à gras 2 gras crochets droits gras moins gras 8 gras x élevé à gras 6 gras et élevé à gras 3 gras.  gras espace gras crochets gauche gras 2 gras et élevé en gras 4 gras z élevé en gras 3 crochets droits gras

Remarque : 8x6y3 (3×2) – 8x6y3 (2y4z3) n’est pas la forme factorisée car les facteurs ne sont pas encore séparés.

Étape 3

Nous utilisons la propriété distributive pour obtenir le facteur commun:

gras 8 gras x augmenté à gras 6 gras et élevé à gras 3 gras crochets à gauche gras 3 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 2 gras et élevé à gras 4 gras z élevé à gras 2 crochets droits gras

Étape 4

Nous passons en revue les mesures prises:

gras 24 gras x élevé à gras 8 gras et élevé à gras 3 gras moins gras 16 gras x élevé à gras 6 gras et élevé à gras 7 gras z élevé à gras 2 même gras 8 gras x élevé à gras 6 gras et surélevé en gras 3 gras.  gras espace gras parenthèse gauche gras 3 gras x augmenté en gras 2 gras moins gras 2 gras et élevé en gras 4 gras z élevé en gras 3 parenthèses droites en gras

Factorisation de quatre termes

Nous pouvons factoriser un polynôme de quatre termes en les regroupant en paires. Regardons l’exemple suivant:

Bold hache Bold Bold par Bold Bold A et Bold Bold Bx

Étape 1

Nous réorganisons les termes de telle sorte que les deux premiers ont un facteur commun et les deux autres ont également un facteur commun:

gras hache gras plus gras par gras plus gras ay gras plus gras bx gras égal espace gras gras hache gras plus gras bx gras plus gras a et gras plus gras par gras égal gras crochets gauche crochets gras hache gras plus gras droit bx crochets gras crochets droit gauche gras a et gras plus gras par des parenthèses en gras à droite

Étape 2

Nous factorisons le x du premier terme et le y comme facteur commun du second terme:

gras égal gras x gras parenthèse gauche gras a gras plus gras b gras parenthèse droite gras plus gras et gras parenthèse gauche gras un gras plus gras b gras parenthèse droite

Étape 3

Nous utilisons la propriété distributive pour factoriser le terme (a + b) de l’expression:

gras x gras crochets gauches gras un gras plus gras b gras crochets droits gras gras plus gras et gras crochets gauche gras un gras plus gras b gras crochets droits gras égal gras crochets gauche gras à gras plus gras crochets gauche b gras crochets gauche gras crochets gauche gras plus gras et plus gras parenthèses droite

Factorisation d’une équation quadratique

Lorsque nous avons un polynôme à trois termes, cela peut être un trinôme quadratique de la forme ax2 + bx + c . Cette expression est obtenue à partir de la multiplication de deux binômes:

Gras parenthèse gauche gras x gras plus gras 7 gras parenthèse droite gras parenthèse gauche gras x gras plus gras 2 gras parenthèse droite gras égal gras x élevé en gras 2 gras plus gras 9 gras x gras plus gras 14

Lors de la factorisation d’une équation quadratique comme x2 + 9x + 14 , ce que nous voulons, c’est obtenir les deux binômes qui en sont à l’origine: (x + 7) (x + 2) .

Factoriser une équation quadratique par essais et erreurs

Pour l’expression 4×2-11x-3, nous recherchons deux facteurs binomiaux. 4×2 est le premier terme, donc la multiplication des premiers coefficients numériques des binômes doit être 4. Le dernier terme est -3, donc les derniers termes des facteurs ont des signes différents dont le produit est -3. Nous pouvons essayer différentes combinaisons:

gras 4 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 11 gras x gras moins gras 3 gras la même chose avec gras?  Au-dessus du support de gauche en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Support de droite en gras Support de gauche en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Crochet de droite Gras de gauche Crochet de gauche Gras 2 Gras x Gras à droite Moins gras Crochet de gauche 3 Gras 2 Gras x Gras Gras 1 Gras Support droit Gras Égale Gras Support gauche Gras 2 Gras x Gras Support droit Gras Support gauche Gras 2 Gras x Gras Support droit Gras Gras Gras Support gauche Gras 2 Gras x Gras Support droit

Cette option est incorrecte.

gras 4 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 11 gras x gras moins gras 3 gras la même chose avec gras?  Au-dessus des parenthèses en gras à gauche Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Support de droite Gras Support de gauche Gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Espace en gras Crochet droit Gras Crochet gauche Gras 4 Gras x Gras à droite Moins gras Crochet gauche 3 Gras x Gras Gras 1 Bold Support droit Gras Égal Gras Support gauche Gras 4 Gras x Gras Support droit Gras Support gauche Gras x Gras Support droit Gras Gras Gras Support gauche Gras 4 Gras x Gras Support droit Gras Support gras

Cette option est incorrecte.

gras 4 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 11 gras x gras moins gras 3 gras la même chose avec gras?  Au-dessus du support gauche gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Support droit Gras Support gauche Gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Espace gras Crochet droit Gras Crochet gauche Gras 4 Gras x Gras Crochet droit Gras Crochet gauche 1 Gras Crochet gauche gras x gras moins gras 3 gras crochets droits gras égal égal gras crochets gauches gras 4 gras x gras crochets droits gras crochets gauche gras x gras crochets droit gras gras x gras crochets gauche gras 4 gras x gras crochets droits gras crochets gras

C’est la bonne option.

Factorisation d’une équation quadratique par regroupement

Pour factoriser par regroupement, nous identifions les coefficients a , b et c et recherchons deux facteurs ac dont la somme est b . Par exemple, pour l’équation 4×2-11x-3 , les coefficients sont a = 4, b = -11 et c = -3.

Les facteurs ac = (4) (- 3) = – 12. Deux facteurs de -12 qui, ensemble, donnent -11 sont -12 et 1.

Maintenant, nous remplaçons le moyen terme de 4×2-11x-3 par -12x + 1x .

gras 4 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 11 gras x gras moins gras 3 gras égal à gras 4 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 12 gras x plus gras 1 gras x gras moins gras 3

Nous regroupons les termes par paires et recherchons le facteur commun:

Gras Égal Gras Parenthèse gauche Gras 4 Gras x Élevé en gras 2 Gras moins gras 12 Gras x Gras Parenthèses à droite Gras Plus gras Parenthèses à gauche Gras 1 Gras x Gras Moins Gras 3 Gras à droite Gras Égale à Gras 4 Gras x Gras x Gras à gauche Parenthèses à gauche Gras moins gras 3 gras parenthèse droite gras plus gras parenthèse gauche gras x gras moins gras 3 gras parenthèse droite

Nous appliquons la propriété distributive au facteur (x-3):

gras égal gras crochets gauches gras x gras moins gras 3 crochets droits gras crochets gauches gras gras 4 gras x gras plus gras 1 crochets droits gras

La forme factorisée est alors comme:

gras 4 gras x augmenté à gras 2 gras moins gras 11 gras x gras moins gras 3 gras égal à gras crochets gauche gras x gras moins gras 3 gras crochets droit gras crochets gauche gras 4 gras x gras plus gras 1 gras crochets droit

Factorisation des trinômes carrés parfaits

Un trinôme carré parfait est celui où la valeur absolue du coefficient b est égale à deux fois le produit des racines de a et c :

ouvrir barre verticale gras b fermer barre verticale gras égal gras 2 racine carrée de gras à racine carrée de gras c

Par exemple, dans l’équation 4×2-20x + 25 , a = 4, b = -20, c = 25, alors:

barre verticale ouverte gras b fermer barre verticale gras égal ouvert barre verticale gras moins gras 20 fermer barre verticale gras égal gras 20 gras 2 racine carrée de gras à racine carrée de gras c gras égal à gras 2 racine carrée de gras 4 racine carrée de gras 25 gras égal gras 2 gras.  gras 2 gras.  gras 5 gras même gras 20

Cela indique que 4×2-20x + 25 peut être factorisé comme le carré d’un binôme:

gras 4 gras x augmenté en gras 2 gras moins gras 20 gras x gras moins gras 25 gras égal à gras entre parenthèses à gauche espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras espace gras gras parenthèse droite élevé en gras 2

Le premier terme sera la racine carrée de 4×2 et le dernier terme sera la racine carrée de c :

gras 4 gras x augmenté en gras 2 gras moins gras 20 gras x gras plus gras 25 gras égal à gras crochets gauches gras 2 gras x gras moins gras 5 crochets droits gras augmenté en gras 2

Le signe dans le binôme est le même que le moyen terme du trinôme.

Voir aussi Equations quadratiques du deuxième degré.

Affacturage binomial

Les binômes factorisables sont:

  • la différence de deux carrés (x2-y2),
  • la différence de deux cubes (x3-y3) et
  • la somme de deux cubes (x3 + y3).

La factorisation de la différence de deux carrés (x2-y2) est:

gras x élevé à gras 2 gras moins gras et élevé à gras 2 gras égal gras crochets gauche gras x gras plus gras et gras crochets droits gras crochets gauche gras x gras moins gras et gras crochets droits

Exemple:

gras 9 gras x augmenté à gras 2 gras moins gras 25 gras et élevé à gras 2 gras égal gras crochets gauche gras 3 gras x gras plus gras 5 gras et gras parenthèses droite gras crochets gauche gras 3 gras et gras x gras moins gras 5 gras et une parenthèse droite en gras

La factorisation de la différence de deux cubes (x3-y3) est:

gras x élevé à gras 3 gras moins gras et élevé à gras 3 gras égal égal gras parenthèse gauche gras x gras moins gras et gras parenthèse droite gras parenthèse gauche gras x élevé à gras 2 gras plus gras x et gras plus gras et élevé à gras 2 droit parenthèse

Exemple:

gras 64 gras à élevé à gras 3 gras moins gras 125 gras égal à gras crochets gauches gras 4 gras à gras moins gras 5 gras crochets droits à gras crochets gauche gras 16 gras à élevé à gras 2 gras plus gras 20 gras à gras 25 gras plus parenthèse droite en gras

La factorisation de la somme de deux cubes (x3 + y3) est:

bold x augmenté en gras 3 gras plus gras et élevé en gras 3 gras égal gras parenthèse gauche gras x gras plus gras et gras parenthèse droite gras parenthèse gauche gras x élevé en gras 2 gras moins gras x et gras plus gras et élevé en gras 2 parenthèses droite

Exemple:

gras 8 gras x élevé à gras 3 gras plus gras 27 gras même gras parenthèse gauche gras 2 gras x gras plus gras 3 gras parenthèse droite gras parenthèse gauche gras 4 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 6 gras x gras plus gras 9 droit parenthèse

Voir également

  • Des produits remarquables.
  • Lois des exposants

Exercices d’affacturage résolus

1. Factorisez l’expression suivante:

gras x gras entre parenthèses à gauche gras x gras moins gras 1 gras entre parenthèses à droite gras espace gras plus gras espace gras 2 gras entre parenthèses à gauche gras x gras moins gras 1 gras entre parenthèses à droite

Étape 1

Le facteur commun est (x-1).

Étape 2

Appliquez la propriété distributive au facteur (x-1):

gras x gras crochets de gauche gras x gras moins gras 1 gras crochets droits gras plus gras 2 gras crochets gauches gras x gras moins gras 1 gras crochets droits gras égal gras crochets gauche gras x gras moins gras 1 gras crochets gauche gras x crochets droit gras 2 gras parenthèses droites

2. Factorisez l’expression suivante:

gras 100 gras x élevé à gras 4 gras et élevé à gras 2 gras z gras moins gras 25 gras x élevé à gras 2 gras et élevé à gras 2 gras z

Étape 1

On prend comme facteur commun 25x2y2z

bold 100 bold x élevé à gras 4 gras et élevé à gras 2 gras z gras moins gras 25 gras x élevé à gras 2 gras et élevé à gras 2 gras z gras le même gras 25 gras x élevé à gras 2 gras et élevé à gras 2 gras z gras.  bold space bold 4 bold x soulevé en gras 2 gras moins gras 25 gras x élevé en gras 2 gras et élevé en gras 2 gras z gras.  gras 1 gras égal gras 25 gras x élevé à gras 2 gras et élevé à gras 2 gras z gras entre parenthèses à gauche gras 4 gras x élevé à gras 2 gras moins gras 1 gras à droite parenthèses

Étape 2

Nous factorisons la différence de deux carrés qui est 4×2-1.

gras 4 gras x augmenté en gras 2 gras moins gras 1 gras le même gras parenthèse gauche gras 2 gras x gras moins gras 1 gras parenthèse droite gras parenthèse gauche gras 2 gras x gras plus gras 1 gras parenthèse droite

Étape 3

La forme factorisée complète est:

gras 25 gras x augmenté en gras 2 gras et élevé en gras 2 gras z parenthèses ouvertes gras 2 gras x gras moins gras 1 parenthèses fermées parenthèses ouvertes gras 2 gras x gras plus gras 1 parenthèses fermées

3. Factorisez l’expression suivante:

gras x élevé à gras 2 gras moins gras 7 gras x gras moins gras 30

Étape 1

Cette expression est une équation quadratique, nous recherchons donc des facteurs binomiaux:

gras x augmenté en gras 2 gras moins gras 7 gras x gras moins gras 30 gras égal ouvert parenthèses espace espace espace espace espace fermer parenthèses ouvertes parenthèses espace espace espace espace espace fermer les parenthèses

Étape 2

Nous recherchons deux nombres multipliés à -30 et ajoutés à -7. On teste avec -10 et 3:

parenthèses ouvertes gras x gras moins gras 10 parenthèses fermées parenthèses ouvertes gras x gras plus gras 3 parenthèses fermées gras égal gras x élevé à gras 2 gras plus gras 3 gras x gras moins gras 10 gras x gras moins gras 30 gras égal gras x élevé à gras 2 gras moins gras 7 gras x gras moins gras 30

Étape 3

La forme factorisée est:

gras x augmenté en gras 2 gras moins gras 7 gras x gras moins gras 30 gras égal parenthèse ouverte gras x gras moins gras 10 parenthèse fermée parenthèse ouverte gras x gras plus gras 3 parenthèse fermée

4. Factorisez l’expression suivante:

gras x élevé à gras 3 gras plus gras x élevé à gras 2 gras moins gras x gras moins gras 1

Étape 1

Nous notons que cette expression comporte quatre termes. Nous les regroupons par paires afin d’obtenir un facteur commun:

gras x élevé à gras 3 gras plus gras x élevé à gras 2 gras moins gras x gras moins gras 1 gras égal parenthèses ouvertes gras x élevé à gras 3 gras moins gras x fermer les parenthèses gras plus ouvert parenthèses gras x élevé à gras 2 gras moins gras 1 parenthèse fermée gras égal gras x parenthèse ouverte gras x élevé en gras 2 gras moins gras 1 parenthèse fermée gras plus parenthèse ouverte gras x élevé en gras 2 gras moins gras 1 parenthèse fermée gras égal à gras parenthèse gauche gras x élevé en gras 2 gras moins gras 1 gras droite parenthèse gras gauche parenthèse gras x gras plus gras 1 gras droite parenthèse

Étape 2

Nous factorisons le binôme carré (x2-1):

ouvrir les parenthèses gras x augmenté en gras 2 gras moins gras 1 fermer les parenthèses gras les mêmes parenthèses ouvertes gras x gras plus gras 1 fermer les parenthèses ouvrir les parenthèses gras x gras moins gras 1 fermer les parenthèses

Étape 3

La forme factorisée finale est:

gras x élevé en gras 3 gras plus gras x élevé en gras 2 gras moins gras x gras moins gras 1 gras égal parenthèses ouvertes gras x gras plus gras 1 parenthèses fermées parenthèses ouvertes gras x gras moins gras 1 parenthèses fermées parenthèses ouvertes gras x gras moins gras 1 fermez les parenthèses gras égal ouvert les parenthèses gras x gras plus gras 1 fermez les parenthèses ouvertes les parenthèses gras x gras moins gras 1 fermez les parenthèses augmenté en gras 2

Exercices d’affacturage (avec réponse)

1. 24x9y2-6x6y7z4

Réponse:

6x6y2 (4×3-y5z4)

 

2. a2 (a + b) -2ab (a + b) + b2 (a + b)

Réponse:

(a + b) (ab) 2

 

3. 8a3 + 125b3

Réponse:

(2a + 5b) (4a2-10ab + 25b2)

 

4. 64a-125a4

Réponse:

a (22-5a) (24-20a + 25a2)

 

5. m2-20m-300

Réponse:

(m + 10) (m-30)

 

6. 48 + 2×2-x4

Réponse:

(x2 + 6) (8-x2)

 

7. bx2-b-x2 + 1

Réponse:

(x2-1) (b-1)

 

8. am3-7am2 + 12h

Réponse:

am (am-4) (am-3)

 

9. 5ax3 + 10ax2-5ax-10a

Réponse:

5a (x + 1) (x-1) (x + 2)

 

10. 6×3 + 23×2 + 9x-18

Réponse:

(x + 3) (3x-2) (2x + 3)

 

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