Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques sont les fonctions d’un angle . Celles-ci comprend généralement des termes qui décline la mesure des angles et des triangles, tels que sinus, cosinus, tangente, cotangente, dessiccant et cosécante.

Les angles des fonctions trigonométriques sont exprimés en radians. Les radians sont l’équivalent des degrés des angles en fonction du rayon de la circonférence.

Définition des fonctions trigonométriques dans le rectangle triangulaire

Un rectangle triangulaire est un polygone à trois côtés, avec un angle droit (égal à 90 °). Les Cotes Qui sont l’angle droit délimitent appeles jambes , et le Opposé côté le plus de temps is the hypoténuse .

Les sources et rapports trigonométriques sont les relations entre les jambages et les hypothèses dans un rectangle triangulaire. Nous avons alors cela pour tout angle aigu du triangle rectangle:

  • Sein (abrégé sen ) est le rapport ou la division de la longueur de la jambe opposée (CO) par la longueur de l’hypoténuse (H);
  • le cosinus (abrégé cos ) est le rapport entre la longueur du montant adjacent (CA) et la longueur de l’hypoténuse (H),
  • la tangente (abrégé donc ) est le rapport entre la longueur du CO et du CA, elle est égale à la division du sinus par le cosinus,
  • la cotangente (abrégé lit bébé ) est le rapport entre CA et CO,
  • la sécante (abrégé seconde ) est le rapport entre l’hypoténuse et l’AC, et
  • la cosécante (abrégé csc ) est le rapport entre l’hypoténuse et le CO.

Par exemple, pour le triangle rectangle de l’image, nous avons les rapports trigonométriques suivants:

Angle α Angle β
Jambe opposée (CO) Jambe adjacente (CA) Hypoténuse (H) SeinCosinusTangenteCotangenteSéchageCosécante

bà
àb
cc
CO / H = b / cCO / H = a / c
CA / H = a / cCA / H = b / c
CO / CA = b / aCO / CA = a / b
CA / CO = a / bCA / CO = b / a
H / CA = c / aH / CA = c / b
H / CO = c / bH / CO = c / a

Exemple

Étant donné un triangle rectangle dont les pattes mesurent 3 et 4 cm et l’hypoténuse est de 5 cm, les trigonétriques fonctions de chaque angle aigu seront:

Angle α Angle β
Jambe opposée (CO) Jambe adjacente (CA) Hypoténuse (H) SeinCosinusTangenteCotangenteSéchageCosécante

3 cm4 cm
4 cm3 cm
5 cm5 cm
CO / H = 3/5CO / H = 4/5
CA / H = 4/5CA / H = 3/5
CO / CA = 3/4CO / CA = 4/3
CA / CO = 4/3CA / CO = 3/4
H / CA = 5/4H / CA = 5/3
H / CO = 5/3H / CO = 5/4

Voir aussi le théorème de Pythagore.

Fonctions trigonétriques sur le cercle trigonétrique

Le cercle trigonométrique est celui dont le rayon vaut l’unité . Dans dessinant deux axes perpendiculaires l’un à l’autre passant par l’origine du cercle, nous aurons un système d’axes de coordonnées XY. Pour calculer les différentes fonctions trigonométriques, nous utilisonsons ces axes.

Fonction trigonométrique sinusoïdale

Pour un angle le Cercle interne Dans trigonométrique Égaux les Do not segments au are rayonne 1 sera la projection du sinus segment mobile sur l’axe de l’Y ordonnée . Imaginons rejoint lampe de poche éclairant ce segment en mouvement dans le cercle. Le nom qui vous segmentera projette sur l’horizon Et ce serait la valeur du sinus.

Le sinus est représenté graphiquement par le segment de segment, le sinus devient égal à 1, l’angle est égal à 90 ° ou 1 / 2π. De 90 ° à 180 °, le sinus est réduit la plupart du temps il est positif. 180 ° au-dessus, le sinus prend des valeurs négatives jusqu’à atteindre 360 ​​°. Les valeurs sinus sont comprises entre 1 et -1.

Fonction cosinus trigonométrique

À un angle interne du cercle trigonométrique où les segments ne sont pas égaux à la rayonne 1, le cosinus sera la projection du segment mobile sur l’axe de x . Imaginons rejoint lampe de poche éclairant ce segment en mouvement dans le cercle. Le nom de ce segment projette sur l’objectif X serait la valeur du cosinus.

Si le cosinus est représenté graphiquement dans le segment, le cosinus est réduit à 0 si l’angle est égal à 90º ou 1 / 2π. De 90 ° à 270 °, le cosinus prend des valeurs négatives. Au-dessus 270 °, le cosinus revient à des valeurs positives jusqu’à atteindre 1 sur 360 °. Les valeurs de cosinus sont comprises entre 1 et -1.

graphique comparatif du sinus et du cosinus

Comparaison des graphes sinus et cosinus entre 0 et 360º.

Fonction trigonométrique tangente

Pour un angle le Cercle interne Dans trigonométrique Égaux les Do not segments au Sont rayonne 1 l Une extension de l’tangente sera du segment mobile sur l’axe de l’Y ordonnée . Imaginons un mur attaché à un cercle et un segment mobile qui se justifie par ce qui touche le mur. La distance entre la base du mur et l’endroit où le segment touche le mur sera la valeur de la tangente.

Puisque la tangente est représentée graphiquement dans le segment, elle passe par les valeurs de l’infini, de sorte que l’angle est égal à 90 ° ou 1 / 2π. De 90 ° à 180 °, il prend des valeurs négatives. Au-dessus de 180 °, la tangente revient à des valeurs positives jusqu’à 270 °. A partir de 270 °, il prend à nouveau des valeurs négatives jusqu’à atteindre 0 à 360 °. Les valeurs tangentes sont comprises entre ∞ et -∞.

Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions trigonétriques ont des fonctions réciproques au même angle. Ceux-ci sont:

Fonction trigonométrique Fonction réciproque

SeinCosécante
CosinusSéchage
TangenteCotangente

Caractéristiques des fonctions trigonométriques

Quand il y a un graphique d’une fonction où les formes se répètent, on dit qu’elles sont périodiques. Les fonctions trigonométriques sont périodiques . La périodicité peut être vue sur un électrocardiogramme.

“Les fonctions trigonométriques d’un angle sont légales, en valeur absolue et en signe, aux cofonctions de l’angle complémentaire par défaut.”

Exemple de paire:

Gras sen Gras Espace Gras 60 Degrés Gras Gras Égal Gras Cos Espace Gras Gras Parenthèses Gauche Gras 90 Degrés Gras Gras Moins Gras 60 Degrés Gras Parenthèses Droite Gras Égal Gras Cos Espace Gras Gras 30 Degrés Gras Gras Gras égal Fraction Numérateur Racine carrée Gras 3 Between le Dénomination fraction de nageoire grasse 2

beige gras espace gras 70 degrés gras gras égal coté gras espace gras gras parenthèse gauche gras 90 degrés gras gras moins gras 70 degrés gras gras parenthèse droite gras égal coté gras coté gras espace gras 20 degrés gras

«Les fonctions trigonométriques d’un angle sont légales en valeur absolue des fonctions auxiliaires de l’angle supplémentaire, plus que le signe s’opposant à l’exception du cosinus et de la sécante qu’est le nom du signe.

Exemple de paire:

Bold Sen Bold Space Bold 315 Bold Degrees Bold Equal Bold Space Bold Sen Bold Space Bold Left Bracket Bold 360 Bold Degrees Bold Space Bold Moins Bold Space Bold 45 Bold Degrees Bold Right Bracket Bold Space Bold Même Bold Space Bold Minus Bold Space Bold Sen 45 bold degrés

gras cos gras espace gras 300 degrés gras espace gras égal espace gras gras cos espace gras gras espace gras crochets gauches gras 360 degrés gras gras moins gras 60 degrés gras gras parenthèses droite gras espace gras égal espace gras cos espace gras gras 60 degrés égaux espace gras gras gras fraction 1 entre gras 2

«Les fonctions trigonométriques d’un angle sont légales en valeur absolue fonctions trigonométriques auxiliaires de l’angle supplémentaire, plus de signe opposé, sans danger pour le sinus et la cosécante qui sont de même signe.

Exemple de paire:

gras sen gras espace gras 120 degrés gras gras égal espace gras sen gras espace gras gras parenthèses gauche gras 180 degrés gras gras moins gras 60 degrés gras gras parenthèses droites gras espace gras égal espace gras gras sen gras espace gras 60 degrés gras espace gras égal fraction racine carrée de gras 3 entre le dénominateur gras 2 fin de fraction

berceau gras espace gras gras 120 degrés gras égal coté gras espace gras espace gras gras parenthèses gauche gras 180 degrés gras gras moins gras 60 degrés gras gras parenthèses droites gras égal espace gras gras moins gras coté gras espace gras gras 60 degrés chiffres gras fraction gras égal racine carré gras de gras 3 entre dénominateur gras 3 fin de fraction

Résumé des valeurs des fonctions trigonométriques des angles notables

Angle Sinus Cosinus Tangent0º30ème45º60º90º180º270º

0une0
1 moitiéfraction numérateur racine carrée de 3 entre le dénominateur 2 et la fin de la fractionfraction numérateur racine carrée de 3 entre le dénominateur 3 fraction fin
fraction numérateur racine carrée de 2 entre le dénominateur 2 et la fin de la fractionfraction numérateur racine carrée de 2 entre le dénominateur 2 et la fin de la fractionune
fraction numérateur racine carrée de 3 entre le dénominateur 2 et la fin de la fraction1 moitiéracine carrée 3
une0infini audacieux
0-une0
-une0infini

Exemples de fonctions trigonométriques

Dans la nature, nous trouvons différentes manifestations qui peuvent être analysées au moyen de fonctions trigonétriques.

Heures de luminosité dans les zones tempérées

Entre les tropiques du Cancer et le cercle arctique dans l’hémisphère nord, et les tropiques du Capricorne et le cercle antarctique dans l’hémisphère sud, nous trouvons un schéma d’illumination typiquement unique. Nous voyons cela se reflète dans les saisons, avec moins de soleil en hiver et plus de lumière en été.

La combinaison Ce modèle d’éclairage naturel unit la fonction sinusoïdale tout au long de l’année.

 

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