Hiérarchie des opérations

En math√©matiques, la hi√©rarchie des op√©rations fait r√©f√©rence √† l’ordre dans lequel les op√©rations math√©matiques doivent √™tre effectu√©es. Imaginons la situation suivante:

2 + 3 x 4 – 5 √∑ 5

Nous pourrions faire le calcul suivant:

  • Nous ajoutons d’abord 2 + 3, puis nous multiplions par 4, soustrayons 5 de cela et enfin divisons par 5.
  • Ou nous pourrions additionner 2 plus 3, soustraire 4 et 5, multiplier ce r√©sultat et diviser √† la fin par 5.

Dans les deux cas, le r√©sultat est diff√©rent. Par cons√©quent, il existe des r√®gles ou des instructions qui doivent √™tre suivies pour qu’une s√©rie d’op√©rations math√©matiques soit toujours r√©solue de la m√™me mani√®re. Ainsi, dans l’expression 2 + 3 x 4-5 √∑ 5, le r√©sultat correct est 13 car:

  • les multiplications / divisions sont effectu√©es en premier: 3 x 4 = 12, 5 √∑ 5 = 1
  • puis les additions et soustractions sont effectu√©es dans le sens de gauche √† droite:
    2 + 12 = 14, 14 – 1 = 13.

Clé pour développer la hiérarchie des opérations

Les opérations mathématiques sont effectuées comme suit:

  • Les calculs se font de gauche √† droite.
  • S’il y a des parenth√®ses ou d’autres signes de regroupement, ces op√©rations sont effectu√©es en premier.
  • L’ordre suivant consiste √† r√©soudre les exposants.
  • La prochaine √©tape consiste √† √©valuer la multiplication et la division.
  • Enfin, les additions et soustractions indiqu√©es sont effectu√©es.

Pour m√©moriser l’ordre des op√©rations, nous pouvons utiliser une r√®gle mn√©monique PEMDAS: Pparenth√®se, ETxponents, Multiplications /r√©ivisions, √Ädictions /Sustractions.

Regroupement des signes dans la hiérarchie des opérations

Les signes de regroupement indiquent que les op√©rations qu’ils contiennent sont effectu√©es en premier. Ceux-ci sont:

  • parenth√®ses ()
  • support carr√© [ ]
  • Cl√©s { }

Barres de fraction -, barres de valeur absolue | | et le symbole racine ‚ąö sont √©galement consid√©r√©s comme des signes de regroupement.

Par exemple, 5 x (3 + 4), cela indique que nous devons d’abord ajouter ce qui se trouve √† l’int√©rieur des parenth√®ses, puis ce r√©sultat est multipli√© par 5:

5 x (3 + 4) = 5 x (7) = 5 x 7 = 35

Lorsque plusieurs signes de regroupement apparaissent, l’ordre de r√©solution est le suivant: d’abord les parenth√®ses, suivies des crochets et √† la fin les accolades, c’est-√†-dire de l’int√©rieur vers l’ext√©rieur.

{[(3+4) + (4-3)] x (2 + 1)}

Nous r√©solvons d’abord les op√©rations entre parenth√®ses:

{[7 + 1]x 3}

Ensuite, les opérations entre crochets sont résolues:

{[7+1] x 3} = {8 x 3}

Enfin, les clés sont développées:

{8 x 3} = 24

Exemple

fraction numérateur gras 7 gras plus gras 5 entre dénominateur gras 3 gras plus gras 1 fin de fraction

Dans ce cas, nous avons une barre de fraction, nous faisons donc les opérations au-dessus et en dessous de la barre en premier:

7+ 5 = 12 et 3 + 1 = 4, nous avons la fraction 12/4 qui est égale à 3:

fraction gras 12 entre gras 4 gras égal gras 3

Op√©rations d’addition et de soustraction dans lesquelles il n’y a pas de signes de regroupement

Dans ce cas, les op√©rations sont effectu√©es dans l’ordre pr√©sent√©:

5 + 3 – 4 + 2 – 6 + 2 ‚áí

5 + 3 = 8,

8 – 4 = 4,

4 + 2 = 6,

6-6 = 0,

0 + 2 = 2

Exemple

1) 32-19 + 40-20 + 30-50

Nous effectuons les opérations étape par étape:

32-19 = 13,

13 + 40 = 53,

53-20 = 33,

33 + 30 = 63,

63-50 = 13

2) 60-40 + 108-104 + 320-133-45

Nous effectuons les opérations étape par étape:

60 – 40 = 20,

20 + 108 = 128,

128 – 104 = 24,

24 + 320 = 344,

344 – 133 = 211,

211 – 45 = 166.

Op√©rations d’addition et de soustraction dans lesquelles il y a des signes de regroupement

Les op√©rations entre parenth√®ses sont effectu√©es en premier jusqu’√† ce qu’il ne reste qu’un seul chiffre:

678 – [(34 + 28) + (73 – 15) – (12 + 43)]‚áí

34 + 28 = 62, 73 – 15 = 58, 12 + 43 = 55,

puis les op√©rations √† l’int√©rieur du crochet sont r√©solues:

62 + 58 = 120, 120 -55 = 65,

Enfin, le reste des opérations est effectué;

678 – 65 = 613.

Op√©rations de multiplication dans lesquelles il n’y a pas de signes de regroupement

Lorsqu’il n’y a pas de signes de regroupement, les multiplications sont effectu√©es en premier, suivies de l’addition et de la soustraction:

3 x 4 + 5 x 6 ‚áí

3 x 4 = 12, 5 x 6 = 30,

12 + 30 = 42

Exemple

15-5 x 3 + 4, la multiplication se fait en premier:

5 x 3 = 15;

puis les additions et soustractions dans l’ordre d’apparition:

15-15 + 4 ‚áí15 – 15 = 0,

0 + 4 = 4.

Opérations de multiplication avec des signes de regroupement

Dans ces cas, les opérations incluses dans les signes de regroupement sont effectuées en premier, puis les opérations indiquées:

(5 Р2) 3 + 6 (4 Р1) ⇒ les opérations entre parenthèses:

5 – 2 = 3,

4-1 = 3;

maintenant les multiplications correspondantes sont effectuées:

(3) 3 = 9 et 6 (3) = 18; enfin les deux termes obtenus sont ajoutés:

9 + 18 = 27

Exemple

(20 – 5 + 2) (16 – 3 + 2 – 1) ‚áí 20 – 5 = 15, 15 + 2 = 17;

16 – 3 = 13, 13 + 2 = 15, 15 – 1 =14;

puis nous multiplions les résultats obtenus à partir des parenthèses:

17 x 14 = 238

Op√©rations de division ou de multiplication dans lesquelles il n’y a pas de signes de regroupement

Dans ces cas, les divisions et multiplications sont effectu√©es en premier, puis l’addition et la soustraction:

12 √∑ 3 x 4 √∑ 2 x 6; les divisions sont 12 √∑ 3 = 4 et 4 √∑ 2 = 2;

alors l’expression devient 4 x 2 x 6 = 48.

Exemple

10 √∑ 5 + 4 – 16 √∑ 8 – 2 + 4 √∑ 4 – 1‚áí nous effectuons d’abord les divisions:

10 √∑ 5 = 2, 16 √∑ 8 = 2, 4 √∑ 4 = 1;

on continue les op√©rations indiqu√©es dans l’ordre: 2 + 4 – 2 – 2 + 1 – 1

2 + 4 = 6, 6 – 2 = 4, 4 – 2 = 2, 2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2.

La réponse finale à 10 ÷ 5 + 4 Р16 ÷ 8 Р2 + 4 ÷ 4 Р1 est 2.

Opérations de division ou de multiplication avec signes de regroupement

Dans ces cas, les opérations incluses dans les signes de regroupement sont effectuées en premier, puis les opérations indiquées:

150 √∑ ‚Äč‚Äč(25 x 2) + 32 √∑ (8 x 2) ‚áí nous effectuons d’abord les op√©rations entre parenth√®ses:

25 x 2 = 50, 8 x 2 = 16;

puis nous faisons les divisions:

150 √∑ ‚Äč‚Äč50 = 3, 32 √∑ 16 = 2;

Enfin on fait la somme:

3 + 2 = 5.

Exemple

200 ÷ (8 Р6) (5 Р3) ⇒ on effectue les opérations entre parenthèses:

8 – 6 = 2, 5 – 3 = 2;

puis nous faisons la division:

200 √∑ 2 = 100;

et enfin la multiplication:

100 x 2 = 200

La r√©ponse finale √† 150 √∑ ‚Äč‚Äč(25 x 2) + 32 √∑ (8 x 2) est 200.

Op√©rations racine ‚ąö

Le symbole radical ‚ąö fonctionne √©galement comme un signe de regroupement, de sorte que les op√©rations englob√©es par ce symbole doivent √™tre effectu√©es en premier:

gras 3 gras plus gras espace gras 4 racine carrée de gras 12 gras espace gras plus gras espace gras 13 racine de fin

Nous d√©veloppons d’abord la somme sous la racine carr√©e:

12 + 13 = 25; on prend la racine carrée de 25:

‚ąö25 = 5; Vient ensuite la multiplication:

4 x 5 = 20;

on termine par la somme:

3 + 20 = 23.

Opérations avec des exposants

Les expressions avec des exposants ont également la priorité sur les autres opérations.

60 – 3 x 4 + (1 + 1) 2.

Nous effectuons l’op√©ration entre parenth√®ses:

(1+ 1) 2 = 22 = 4;

Nous continuons avec la multiplication:

3 x 4 = 12; nous terminons les op√©rations dans l’ordre indiqu√©:

60 – 12 + 4 = 52

Voir également:

  • Lois des exposants.
  • Nombres entiers.
  • Loi des signes.

Exercices pour pratiquer l’ordre des op√©rations

1) 3 x (2 x 43) / 4

Tout d’abord, ce qui est entre parenth√®ses est r√©solu:

(2 x 43), entre parenth√®ses l’exposant 43 est r√©solu, qui est √©gal √† 64;

2 x 64 = 128

Deuxièmement, nous résolvons la division 128/4 = 32

Enfin, cette multiplication se fait 3 x 32 = 96

 

2) 915-316 + 518-354 + 15

915-316 = 599, 599 + 518 = 1117, 1117-354 = 763, 763 + 15 = 778

Réponse= 778

 

3)[8+(4-2)]+[9-(3+1)]

[8+2]+[9-4]= 10 + 5 = 15

Réponse= 15

 

4) 8 – 2 x 2 + 6 + 7 x 3 – 3 x 4 + 16

8-4 + 6 + 21-12 + 16‚áí8-4 = 4, 4 + 6 = 10, 10 + 21 = 31, 31-12 = 19, 19 + 16 = 35

Réponse= 35

 

5) 3 (8-1) +4 (3 + 2) -3 (5-4)

3 (7) +4 (5) -3 (1) = 21 + 20-3 = 38

Réponse= 38

 

6) 40 √∑ 5 x5 + 6 √∑ 2 x3 + 4-5 x2 √∑ 10

40 √∑ 5 = 8, 6 √∑ 2 = 3, 2 √∑ 10 = 0,2

8 x 5 = 40,3 x 3 = 9,5 x 0,2 = 1

40 + 9 + 4 -1 = 52

Réponse= 52

7) 9 [15 √∑ (6 – 1) – (9 – 3) √∑ 2]

Nous faisons d’abord les parenth√®ses: 6-1 = 5; 9-3 = 6;

puis on fait les divisions entre parenthèses: 15 ÷ 5 = 3; 6 ÷ 2 = 3;

nous continuons avec la soustraction √† l’int√©rieur du crochet: 3 – 3 = 0;

on termine par la multiplication: 9 x 0 = 0

Réponse= 0.

 

8) 100 + 8 x 32 – 63 √∑ (2 + 5)

Nous faisons d’abord les parenth√®ses: 2 + 5 = 7;

Puis les exposants: 3 2 = 9;

Puis les divisions et multiplications: 8 x 9 = 72, 63 √∑ 7 = 9;

On termine par l’addition et la soustraction: 100 + 72 – 9 = 163

Réponse= 163.

 

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