Probabilité

Quelle est la possibilitĂ© de voir une Ă©toile filante? Quelle est la chance qu’il pleuve demain? Vais-je gagner un jour Ă  la loterie? Lorsque nous voulons savoir si un Ă©vĂ©nement ou un Ă©vĂ©nement est possible ou non, nous nous tournons vers la probabilitĂ© . Ainsi, la probabilitĂ© est la valeur numĂ©rique qui nous aide Ă  dĂ©terminer l’occurrence ou non d’une situation donnĂ©e.

Par exemple, lorsque nous lançons une pièce, il y a une probabilitĂ© de 0,50 que nous obtenions un aigle ou un soleil (tĂŞte ou queue dans certains pays). Dans une question vraie ou fausse, nous avons 50 Ă  50 chances de rĂ©pondre correctement si nous choisissons la rĂ©ponse au hasard, c’est-Ă -dire que la probabilitĂ© est de 0,50.

Aussi quand on dit que dans une boĂ®te d’allumettes il y a 1% qu’une correspondance ne s’allume pas, on l’exprime comme une probabilitĂ© de 0,01. C’est que dans 100 fois que nous frappons un match, au moins un ne s’allumera pas.

Probabilité et statistique

Probabilité et statistiques vont de pair. En fait, la probabilité représente la base de la construction des statistiques inférentielles.

Les statistiques infĂ©rentielles font partie des statistiques, en utilisant des mĂ©thodes probabilistes, prĂ©dit les rĂ©sultats d’une population sur la base des donnĂ©es d’un Ă©chantillon de cette population.

Un exemple intĂ©ressant est l’Ă©tude de Subagia et al., OĂą ils ont examinĂ© les configurations d’hĂ©licoptères et la probabilitĂ© d’accidents. Ces chercheurs ont identifiĂ© que les hĂ©licoptères Ă  quatre pales ont la plus faible probabilitĂ© d’accidents.

Notions de base sur les probabilités

Afin de comprendre la probabilitĂ© que quelque chose se produise, il existe quelques notations et concepts clĂ©s dans l’Ă©tude des probabilitĂ©s:

  • La probabilitĂ© est notĂ©e par la lettre P .
  • Un Ă©vĂ©nement est un ensemble de rĂ©sultats ou de consĂ©quences d’une procĂ©dure. Par exemple, lancez deux dĂ©s et obtenez 6 et 6.
  • Un Ă©vĂ©nement simple est un rĂ©sultat ou un Ă©vĂ©nement qui ne peut plus ĂŞtre dĂ©composĂ© en composants plus simples. Par exemple, le chiffre 6 apparaĂ®t lorsque nous lançons un dĂ©.
  • L’ espace Ă©chantillon d’une procĂ©dure correspond Ă  tous les rĂ©sultats possibles. Autrement dit, l’espace Ă©chantillon est composĂ© de tous les rĂ©sultats qui ne peuvent plus ĂŞtre dĂ©composĂ©s. Par exemple, tous les rĂ©sultats possibles de lancer deux dĂ©s:

123456123456

Onze1, 21, 31, 4quinze1, 6
vingt et un2, 22. 32, 42, 52, 6
3, 13, 23, 33. 43, 53, 6
4, 14, 24, 34, 4Quatre cinq4, 6
5, 15, 25, 35, 45, 55, 6
6, 16, 26, 36, 46, 56, 6
  • Les Ă©vĂ©nements spĂ©cifiques sont dĂ©signĂ©s par A, B ou C. P (A) indique la probabilitĂ© que l’Ă©vĂ©nement A se produise.
  • La probabilitĂ© d’un Ă©vĂ©nement impossible est de 0 . Par exemple, obtenir de l’eau du soleil a une probabilitĂ© de 0.
  • La probabilitĂ© d’un certain Ă©vĂ©nement est de 1 . Par exemple, le fait que la Terre tourne autour du Soleil est sans danger.
  • La probabilitĂ© qu’un Ă©vĂ©nement ne se produise pas est connue comme le complĂ©ment de l’occurrence de l’Ă©vĂ©nement. Par exemple, si la probabilitĂ© de gagner Ă  la loterie est de 0,000001, le complĂ©ment est la probabilitĂ© de NE PAS gagner Ă  la loterie, soit 0,999999.

Règles de probabilité: comment la probabilité est-elle calculée?

Il existe trois méthodes ou règles différentes pour calculer les valeurs de probabilité, en fonction des événements et des procédures impliqués.

Règle 1: approximation de la probabilité par des fréquences relatives

Nous voulons connaĂ®tre la probabilitĂ© qu’une Ă©quipe de football remporte un match. Pour cela, nous devons compter tous les matchs jouĂ©s et combien ont Ă©tĂ© gagnĂ©s pendant une certaine pĂ©riode de temps. Avec ces rĂ©sultats, nous calculons la probabilitĂ© comme suit:

style taille 16px gras P gras crochets à gauche équipe gras espace gras X gras espace gras gagne gras parenthèses droites gras égal fraction numérateur gras montant gras espace gras d'espace gras correspondances gras espace gras gras gagné entre dénominateur gras espace gras total gras gras des correspondances gras espace gras style de fin de fraction de fin joué en gras

Un match de football serait une procĂ©dure dans laquelle les Ă©vĂ©nements simples sont la victoire, la dĂ©faite ou le tirage au sort. Cependant, nous ne pouvons pas dire que la probabilitĂ© que l’Ă©quipe X gagne est de 1/3, mais plutĂ´t que plus l’Ă©quipe X fait et gagne de jeux, la probabilitĂ© sera plus certaine.

En bref, une procĂ©dure est exĂ©cutĂ©e (ou observĂ©e) un grand nombre de fois et les moments oĂą l’Ă©vĂ©nement A se produit rĂ©ellement sont comptĂ©s. Sur la base de ces rĂ©sultats rĂ©els, P (A) est estimĂ© comme suit:

style taille 16px gras P gras parenthèse gauche gras Un gras entre parenthèses droite gras égal fraction numérateur nombre gras espace gras gras espace gras fois gras espace gras gras que gras espace gras est apparu gras espace gras A entre le dénominateur nombre gras espace gras gras des espaces gras fois gras espace gras que gras espace gras espace gras gras répété espace gras gras espace gras procédure gras fin fraction fin style

Lors du calcul des probabilitĂ©s avec la mĂ©thode des frĂ©quences relatives, nous obtenons une approximation plutĂ´t qu’une valeur exacte. Ă€ mesure que le nombre total d’observations augmente, les estimations correspondantes ont tendance Ă  se rapprocher de la vraie probabilitĂ©. Cette propriĂ©tĂ© est Ă©noncĂ©e sous la forme d’un thĂ©orème, communĂ©ment appelĂ© loi des grands nombres .

Exemple de règle 1

Si nous recherchons les statistiques du FC Barcelone, nous constatons qu’ils ont jouĂ© 2865 matchs, dont 1653 gagnĂ©s, 630 perdus et nuls 582. Avec ces donnĂ©es, nous calculons la probabilitĂ© que Barcelone gagne un match:

style taille 16px gras P gras entre parenthèses gauche gras Barcelone gras espace gras FC gras espace gras gagne gras parenthèse droite gras égal fraction numérateur gras 1653 gras espace gras correspond à gras espace gras gagné entre dénominateur gras 2865 espace gras correspond à gras espace gras fraction gras joué fin fraction gras même gras 0 gras virgule gras 577 fin style

Les statistiques du Real Madrid sont similaires: 2865 matchs joués, 1706 victoires, 584 défaites et 575 ex aequo. Ainsi, la probabilité que le Real Madrid gagne est:

style taille 16px gras P gras crochets gauches gras réel gras espace gras Madrid gras espace gras gagne gras parenthèses droites gras égal fraction numérateur gras 1706 gras espace gras correspond à gras espace gras gagné entre dénominateur gras 2865 gras espace gras correspond à gras espace fraction gras joué même gras 0 bold virgule gras 595 fin style

Règle 2: méthode classique de probabilité

C’est la mĂ©thode classique que nous associons au lancer de dĂ©s ou d’une pièce de monnaie. Quand on lance une pièce, on a la mĂŞme probabilitĂ© dans un simple Ă©vĂ©nement d’avoir une tĂŞte ou une queue (aigle ou soleil au Mexique).

Supposons qu’une procĂ©dure donnĂ©e ait n Ă©vĂ©nements simples distincts et que chacun de ces Ă©vĂ©nements simples ait une chance Ă©gale de se produire. Si l’Ă©vĂ©nement A peut se produire dans s de ces n façons, alors:

style taille 16px gras P gras crochets gauche gras A gras crochets droits gras égal fraction numérateur gras numéro gras espace gras espace gras espace gras formes gras espace gras gras espace gras gras que gras espace gras peut gras espace gras se produire gras espace gras A entre dénominateur nombre espace gras gras d'espace gras événements gras espace gras gras simple espace gras gras fin différent fraction gras égal fraction gras s entre gras style fin

Exemple de règle 2

La probabilité que le chiffre cinq lancera un dé est:

style taille 16px gras P gras crochets gauche gras 5 gras crochets droits gras Ă©gal fraction gras 1 entre gras 6 gras Ă©gal gras 0 gras virgule gras 166 fin style

Ainsi, la probabilitĂ© que l’une des faces d’un dĂ© sortira est Ă©gale Ă  1/6.

Règle 3: probabilité subjective

Comment calculer la probabilitĂ© d’Ă©vĂ©nements tels que s’il pleuvra demain, atteindra le sommet du mont Everest ou sera frappĂ© par la foudre, est estimĂ© en fonction de la connaissance des circonstances pertinentes.

Exemple de règle 3

La probabilitĂ© de tumeurs cĂ©rĂ©brales liĂ©es Ă  l’utilisation du tĂ©lĂ©phone portable a Ă©tĂ© Ă©tudiĂ©e dans plusieurs pays. En Australie, l’incidence des tumeurs cĂ©rĂ©brales a Ă©tĂ© analysĂ©e dans 16825 cas de cancer du cerveau chez des personnes âgĂ©es de 20 Ă  59 ans, entre 1982 et 2002 (10063 cas) et entre 2003 et 2013 (date Ă  laquelle les tĂ©lĂ©phones portables ont commencĂ© Ă  ĂŞtre utilisĂ©s: 6762 cas ).

Selon les donnĂ©es recueillies par ces chercheurs, l’incidence des tumeurs cĂ©rĂ©brales tout au long de la pĂ©riode d’Ă©tude n’a pas changĂ©, de sorte que la probabilitĂ© que l’utilisation du tĂ©lĂ©phone cellulaire provoque le cancer est minime.

À quoi sert la probabilité?

Nous utilisons le calcul des probabilités dans de nombreux domaines de notre vie:

  • En prĂ©disant le temps.
  • Lorsqu’un traitement mĂ©dical ou une intervention chirurgicale est effectuĂ©e.
  • Les compagnies d’assurance.
  • Dans les casinos et les jeux de hasard.

ConnaĂ®tre les probabilitĂ©s d’un certain Ă©vĂ©nement permet de se prĂ©parer aux rĂ©sultats ou de se faire confiance avec le succès attendu.

Bref historique des probabilités

Le précurseur des théories probabilistes était le mathématicien italien Girolamo Cardano (1501-1576).

Les mathématiciens Pierre Fermat (1601-1665) et Blaise Pascal (1623-1662) ont contribué à développer le concept de probabilité aux problèmes liés aux jeux de hasard.

Le calcul combinatoire a été développé par Jacob Bernoulli (1654-1705) et Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Exercices de probabilité résolus

1. Quelle est la probabilitĂ© qu’un couple sur trois naissances ait trois filles?

Dans ce cas, nous utilisons la règle 2. L’espace d’Ă©chantillonnage de trois naissances est le suivant:

Option1ère place2ème place3ème place
unfillefillefille
2fillefilleenfant
3filleenfantfille
4enfantfillefille
5filleenfantenfant
6enfantfilleenfant
septenfantenfantfille
8enfantenfantenfant

Nous voyons qu’il n’y a qu’une seule option pour avoir trois filles, donc la probabilitĂ© sera:

style taille 16px gras P gras crochets gauches gras trois gras espace gras filles gras crochets droits gras gras Ă©gal fraction gras 1 dans gras 8 gras Ă©gal gras 0 gras virgule gras 125 fin style

RĂ©ponse : La probabilitĂ© d’avoir trois filles sur trois naissances est de 1/8, soit 0,125.

2. Quelle est la probabilité que le Real Madrid batte le FC Barcelone?

Le Real Madrid et Barcelone ont disputé 236 matchs. 94 matchs ont été remportés par Barcelone, 91 ont été gagnés par le Real Madrid et 51 ont été à égalité. Si nous voulons savoir quelle est la probabilité que le Real Madrid batte Barcelone, le calcul est le suivant:

style taille 16px gras P gras crochets gauches gras Real gras espace gras Madrid gras espace gras le gras espace gras gagne gras espace gras à gras espace gras Barcelone gras crochets droits gras égal fraction numérateur gras 91 gras espace gras correspond à un espace gras gras gras gagne entre dénominateur 236 gras espace gras correspond à gras espace gras joué fin fraction gras égal gras 0 gras virgule gras 386 fin style

Réponse: la probabilité que le Real Madrid batte Barcelone est de 0,386.

3. Sur un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de piocher une carte diamant?

Il y a 13 cartes diamant dans le jeu de cartes; la probabilité de dessiner un jour est:

style taille 16px gras P gras entre parenthèses à gauche lettre en gras espace gras espace gras gras espace gras diamant gras parenthèse droite gras égal fraction gras 13 dans gras 52 gras égal fraction gras 1 dans gras 4 gras égal gras 0 gras virgule gras 25 fin style

RĂ©ponse : La probabilitĂ© de piocher une carte diamant d’un jeu de 52 cartes est de 0,25.

Les références

Karipidis, K. et coll. (2018) Utilisation du téléphone portable et incidence des types histologiques de tumeurs cérébrales, classement ou localisation anatomique: une étude écologique basée sur la population. BMJ Open 8: e024489. DOI: 10.1136 / bmjopen-2018-024489.

Subagia, R., Saleh, JH, Churchwell, JS, Zhang, KS (2020) Apprentissage statistique pour les accidents d’hĂ©licoptère Ă  turbomoteur Ă  l’aide de la rĂ©gression logistique. Plos One 15: e022734. DOI: 10.1371 / journal.pone.0227334.

Triola MF (2009) Statistiques 10e Ă©d. Pearson Education. Mexique.

BDFutbol- Barcelone. Récupéré le 06-01-2020 sur https://www.bdfutbol.com/en/e/e2.html?p=stats

 

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