Théorème de Pythagore : exercices

Le théorème de Pythagore stipule que dans chaque triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des jambes.

Exercices pour appliquer le théorème de Pythagore

1) Si a et b sont les jambes et c est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, trouvez le côté manquant:

b = 5 cm, c = 10 cm, a =?

A partir de la formule du théorème de Pythagore a2 + b2 = c2, nous résolvons pour la jambe a:

gras une racine carrée égale en gras de gras c élevé à gras 2 gras moins gras b élevé à gras 2 racine d'extrémité

Nous substituons les valeurs de b et c et calculons a:

gras à gras racine carrée égale de gras 10 élevé à gras 2 gras moins gras 5 élevé à gras 2 racine gras de fin égal à la racine carrée de gras 100 gras moins gras 25 racine gras de fin égal à la racine carrée de gras 75 racine carrée égale de gras de gras 5 élevé en gras 2 gras 3 racine gras de fin égal gras 5 racine carrée de gras 3

gras R gras deux points gras espace gras à gras égal à gras 5 racine carrée de gras 3 gras espace gras cm gras espace gras égal à gras 8 gras virgule gras 66 gras espace gras cm

 

2) Si a et b sont les jambes et c est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, trouvez le côté manquant:

a = 12 m, b = 20 m, c =?

A partir de la formule du théorème de Pythagore a2 + b2 = c2, nous résolvons l’hypoténuse c:

style taille 16px gras c gras racine carrée égale gras a élevé à gras 2 gras plus gras b élevé à gras 2 extrémité racine style fin

Nous substituons les valeurs de a et b et calculons c:

style taille 16px gras c gras racine carrée égale de gras 12 élevé en gras 2 gras plus gras 20 élevé en gras 2 racine en gras racine égale racine carrée de gras 144 gras plus gras 400 racine en gras de fin racine carrée égale en gras 544 gras racine carrée égale du gras 2 au gras 5 gras.  bold 17 end bold root égal bold 4 root square of bold 34 end style

gras R gras deux-points gras espace gras c gras égal égal à gras 4 racine carrée de gras 34 gras m gras espace gras égal égal à gras espace gras 23 gras virgule gras 32 gras espace gras m

 

3) Si a et b sont les jambes et c est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, calculez le côté manquant:

a = 60 km, c = 100, b =?

style taille 16px gras b gras racine carrée égale de gras 100 élevé en gras 2 gras moins gras 60 élevé en gras 2 racine en gras racine égale racine carrée de gras 10000 gras moins gras 3600 racine en gras de fin racine carrée égale en gras 6400 gras égal à gras 80 fin style

style taille 16px gras R gras deux-points gras espace gras b gras égal égal gras 80 gras espace gras km fin style

 

4) Trouvez l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle sachant que la valeur de la jambe est a = 5 m.

Nous savons qu’un triangle isocèle est un triangle avec deux côtés égaux et deux angles égaux. Les deux pattes ont la même longueur. Donc pour calculer l’hypoténuse, on applique simplement la formule:

taille du style 16px gras c gras racine carrée égale de gras 2 gras à élevé à gras 2 extrémité racine grasse égale à la racine carrée de gras 2 style gras parenthèse gauche 5 parenthèse droite style de fin élevé en gras 2 extrémité racine grasse égale à gras 5 racine carrée de style audacieux à 2 extrémités

style taille 16px gras R gras deux-points gras espace gras c gras égal gras 5 racine carrée de gras 2 gras égal gras 2 gras virgule gras 23 gras espace gras m fin style

 

5) Trouvez l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle sachant que la valeur de la jambe a = 15 cm.

style taille 16px gras c gras racine carrée égale de gras 2 gras à surélevé à gras 2 extrémité racine en gras égale à la racine carrée de gras 2 gras entre parenthèses à gauche gras 15 gras parenthèses à droite augmenté en gras 2 extrémité en gras racine égale à gras 15 racine carrée de style audacieux à 2 extrémités

style taille 16px gras R gras deux points gras espace gras c gras égal gras 15 racine carrée de gras 2 cm gras espace gras gras égal à gras 21 gras virgule gras 21 gras espace gras fin cm style

 

6) Trouvez l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle sachant que la valeur de la jambe a = 95 cm.

style taille 16px gras c gras racine carrée égale de gras 2 gras à élevé à gras 2 extrémité racine grasse égale à la racine carrée de gras 2 style gras parenthèse gauche 95 parenthèse droite style de fin élevé en gras 2 racine racine grasse égale à gras 95 racine carrée de style audacieux à 2 extrémités

style taille 16px gras R gras deux-points gras espace gras c gras égal gras 95 racine carrée de gras 2 gras espace gras gras égal à gras 134 gras virgule gras 35 gras espace gras cm fin style

 

7) Trouvez la hauteur (h) d’un triangle équilatéral sachant que le côté = 12 cm.

Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles aigus. Cependant, la hauteur correspond à une jambe commune de deux triangles rectangles internes, comme le montre la figure:

Connaissant la longueur d’un côté du triangle, nous pouvons calculer la hauteur. C’est l’une des jambes tandis que l’autre jambe fait la moitié de la longueur de l’hypoténuse. En appliquant le théorème de Pythagore, nous avons:

taille du style 16px parenthèse gauche gras AB avec barre en gras au-dessus de la parenthèse droite augmentée en gras 2 gras égal gras h élevé en gras 2 gras plus style gras parenthèse gauche DB avec barre au-dessus de la parenthèse droite style de fin augmenté en gras style de fin 2

gras h gras racine carrée égale de gras entre parenthèses à gauche gras AB avec barre en gras au-dessus de gras entre parenthèses à droite augmenté en gras 2 gras moins gras entre parenthèses à gauche gras DB avec barre en gras au-dessus de gras entre parenthèses à droite augmenté en gras 2 extrémité en gras racine égale racine carrée de gras 12 élevé en gras 2 gras moins gras 6 élevé en gras 2 extrémité en gras racine égale racine carrée de gras 108 gras égal en gras 6 racine carrée de gras 3

gras R gras deux points gras espace gras h gras égal gras 6 racine carrée de gras 3 gras espace gras cm gras égal gras 10 gras virgule gras 39 gras espace gras cm

 

8) Trouvez la hauteur (h) d’un triangle équilatéral sachant que le côté = 10 m.

Comme dans le cas précédent, nous appliquons le théorème de Pythagore, où l’hypoténuse a maintenant une valeur de 10 cm et l’une des jambes est de 5 cm:

gras h gras racine carrée égale de gras entre parenthèses à gauche gras AB avec barre en gras au-dessus de gras entre parenthèses à droite élevé en gras 2 gras moins gras entre parenthèses à gauche gras DB avec barre en gras au-dessus de gras entre parenthèses à droite augmenté en gras 2 extrémité en gras racine égale à gras 10 élevé en gras 2 gras moins gras 5 élevé en gras 2 extrémité en gras racine égale racine carrée de gras 75 gras égal en gras 5 racine carrée de gras 3

style taille 16px gras R gras deux points gras espace gras h gras égal gras 5 racine carrée de gras 3 gras gras m gras égal égal gras espace gras 8 gras virgule gras 66 gras espace gras m gras.  style de fin

 

9) Trouvez la hauteur (h) d’un triangle équilatéral sachant que le côté = 25 m.

style taille 16px gras h gras racine carrée égale de la parenthèse gauche en gras gras AB avec barre en gras au-dessus de la parenthèse droite en gras augmenté en gras 2 gras moins gras parenthèse gauche gras DB avec barre en gras au-dessus de la parenthèse droite en gras élevé en gras 2 racine en gras racine égale racine carrée gras 25 élevé en gras 2 gras moins gras parenthèse gauche gras 12 gras virgule gras 5 gras parenthèse droite élevé en gras 2 extrémité gras racine égale racine carrée de gras 468 gras virgule gras 75 fin gras racine égal à gras 21 gras virgule gras 65 espace gras style audacieux

style taille 16px gras R gras deux-points gras espace gras h gras égal égal gras 21 gras virgule gras 65 gras espace gras m gras.  style de fin

 

10) Trouvez l’aire (A) d’un triangle équilatéral sachant que la longueur des côtés = 10 m.

L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de la base (b) et de la hauteur (h):

style taille 16px gras Un numérateur de fraction égale gras gras b gras.  gras h entre le dénominateur gras 2 fin du style de fin de fraction

La mesure de la base d’un triangle équilatéral est égale à la mesure de ses côtés; la hauteur du triangle équilatéral est calculée à partir du théorème de Pythagore:

gras h gras égal racine carrée de la parenthèse gauche en gras côté gras gras parenthèse droite augmenté en gras 2 gras moins gras parenthèse gauche gras côté de la fraction en gras 2 gras parenthèse droite augmenté en gras 2 extrémité gras racine égal à la racine carrée du style gras parenthèse gauche 10 parenthèses extrémité droite style augmenté en gras 2 gras moins gras parenthèse gauche gras 5 gras parenthèse droite augmenté en gras 2 racine d'extrémité gras égal gras 8 gras virgule gras 66 gras espace gras m

En prenant la hauteur et la base, nous pouvons calculer la surface:

style taille 16px gras Un numérateur de fraction égale gras gras b gras.  gras h entre le dénominateur gras 2 fin fraction gras égal fraction numérateur gras parenthèse gauche gras 10 gras espace gras m gras parenthèse droite gras parenthèse gauche gras 8 gras virgule gras 66 gras espace gras m gras parenthèse droite entre dénominateur gras 2 fin fraction gras égal gras 43 bold virgule bold 3 bold space bold m élevé à bold 2 end style

style taille 16px gras R gras deux-points gras espace gras Un gras égal gras 43 gras virgule gras 3 gras espace gras m élevé en gras style 2 extrémités

 

11) Trouvez l’aire (A) d’un triangle rectangle

Exercice du théorème de Pythagore

L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de la base (b) et de la hauteur (h). Dans ce cas, la jambe inconnue est b et la jambe connue est h. Nous devons calculer la jambe inconnue en appliquant le théorème de Pythagore:

taille du style 16px gras x gras racine carrée égale du style gras parenthèses gauches 17 parenthèses droites style de fin augmenté en gras 2 gras moins style gras parenthèse gauche 15 parenthèses droites style de fin augmenté en gras 2 extrémité gras racine égale racine carrée de gras 289 gras moins gras 225 fin racine grasse racine carrée égale de gras 64 gras égal gras 8 gras espace gras cm fin style

L’aire de ce triangle est:

style taille 16px gras Un numérateur de fraction égale gras gras b gras.  gras h entre le dénominateur gras 2 fin fraction gras égal fraction style numérateur gras parenthèse gauche 15 espace cm parenthèse droite style de fin style gras parenthèse gauche 8 espace cm parenthèse droite style de fin entre dénominateur gras 2 fin fraction gras égal gras 60 gras espace gras cm élevé à style audacieux à 2 extrémités

style taille 16px gras R gras deux-points gras espace gras Un gras égal gras 60 gras espace gras cm élevé en gras style 2 extrémités

 

Problèmes concernant le théorème de Pythagore

1) Quelle doit être la longueur d’une échelle pour atteindre une fenêtre à 3 mètres du sol et pour que l’échelle soit séparée du mur de 1,5 mètre?

Il y a un angle droit entre le sol et le mur, donc la longueur de l’échelle sera l’hypoténuse. La séparation entre le mur et l’échelle au niveau du sol et la distance de la fenêtre sont les jambes. Application du théorème de Pythagore:

style taille 16px gras L indice gras escalier gras égal racine carrée du style gras parenthèse gauche hauteur indice fenêtre parenthèse droite fin style élevé en gras 2 gras plus style gras parenthèse gauche distance indice escalier moins mur fin indice parenthèse droite fin style élevé en gras 2 extrémité style d'extrémité racine

taille du style 16px gras L indice gras échelle gras racine carrée égale du style gras parenthèse gauche 3 parenthèse droite style de fin augmenté en gras 2 gras plus style gras parenthèse gauche 1 virgule 5 parenthèse droite style de fin élevé en gras 2 extrémité gras racine égale racine carrée de gras 11 gras virgule gras 25 fin racine gras égal égal gras 3 gras virgule gras 35 gras espace gras m fin style

Réponse: l’échelle doit mesurer 3,35 m.

 

2) Le professeur Hernández a parcouru 24 kilomètres au nord, puis 10 kilomètres à l’ouest, combien de temps a-t-elle parcouru depuis le point de départ?

Puisque l’enseignant a parcouru un chemin qui décrit un angle droit, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore pour calculer l’hypoténuse:

taille du style 16px gras h gras racine carrée égale du style gras parenthèse gauche 24 parenthèse droite style de fin augmenté en gras 2 gras plus style gras parenthèse gauche 10 parenthèse droite style de fin élevé en gras 2 extrémité racine grasse racine carrée égale de gras 676 gras égal à style de fin audacieux 26

Réponse: le professeur Hernández a parcouru 26 kilomètres depuis le point de départ.

 

3) Fabián se rend à l’école dans un champ rectangulaire clôturé de 50 mètres sur 100 mètres. Un jour, Fabián constate que la clôture n’existe plus et décide de traverser le champ en diagonale. Dans quelle mesure la distance parcourue a-t-elle été réduite?

Exercices sur le théorème de Pythagore

La diagonale d’un rectangle est l’hypoténuse de deux triangles rectangles comme le montre la figure. Nous calculons l’hypoténuse en appliquant le théorème de Pythagore:

style taille 16px gras h gras racine carrée égale de gras parenthèse gauche gras 50 gras parenthèse droite augmenté en gras 2 gras plus gras parenthèse gauche gras 100 gras parenthèse droite élevé en gras 2 fin gras racine égal racine carré de gras 12500 gras égal gras 111 gras virgule gras 8 style de fin d'espace gras

Pour calculer combien la distance parcourue par Fabian a été réduite, nous soustrayons la valeur de la diagonale du rectangle de la somme des deux côtés du rectangle:

gras entre parenthèses à gauche gras 100 gras espace gras m gras espace gras plus gras espace gras 50 gras espace gras m gras parenthèse droite gras espace gras moins gras espace gras 111 gras virgule gras 8 gras espace gras m gras égal égal gras 38 gras virgule gras gras n

Réponse: Fabián a réduit son trajet vers l’école de 38,2 m en traversant le champ rectangulaire en diagonale.

 

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *