Vecteurs

Vecteur est le mot pour d├ęfinir une quantit├ę qui a une ampleur et une direction . Les vecteurs sont d├ęfinis comme des repr├ęsentations g├ęom├ętriques avec une magnitude et une direction et sont repr├ęsent├ęs par des fl├Ęches.

Notation vectorielle

Le vecteur est d├ęsign├ę par deux lettres majuscules avec une fl├Ęche au-dessus. La premi├Ęre lettre est l’origine et la seconde est la fin du vecteur. Par exemple, le vecteur d’origine en A et se terminant en B est:

AB gras avec fl├Ęche droite en gras au-dessus

Ils peuvent ├ęgalement ├¬tre exprim├ęs avec une simple lettre et la fl├Ęche ci-dessus:

Un audacieux avec un crochet de harpon droit audacieux sur le dessus

Graphiquement, le vecteur est dessin├ę sous la forme d’une fl├Ęche qui commence ├á un point sur l’axe des coordonn├ęes et se termine ├á un autre point. La fl├Ęche s’appelle un vecteur g├ęom├ętrique.

Un vecteur unitaire est le vecteur de longueur ├ęgale ├á un, un vecteur unitaire dans la direction A s’├ęcrit avec le symbole ^ au-dessus de la lettre et se lit: Un chapeau.

Diff├ęrence entre vecteur et scalaire

Un scalaire est une quantit├ę physique repr├ęsent├ęe par un nombre sans adresse . Des exemples de scalaires sont la hauteur, la masse, la surface, la temp├ęrature et le volume. La longueur entre deux points est une quantit├ę sans direction, donc c’est un scalaire.

Un vecteur est une grandeur physique qui a ├á la fois une magnitude et une direction . Des exemples de vecteurs incluent le d├ęplacement, la vitesse et l’acc├ęl├ęration. La longueur entre un point de d├ępart et un point final dans une certaine direction est un vecteur.

Relation entre vecteur et scalaire

La grandeur d’un vecteur est un scalaire. Nous pouvons l’illustrer de la mani├Ęre suivante: si nous d├ępla├žons un rocher de 5 m├Ętres, la distance du mouvement est une grandeur scalaire (5 m). Maintenant, si on d├ęplace la roche de 5 m├Ętres vers la droite, le d├ęplacement est une grandeur vectorielle ├ęgale ├á 5 m├Ętres vers la droite.

Caract├ęristiques des vecteurs

Tous les vecteurs ont une longueur, une direction et un point d’application.

Magnitude d’un vecteur

La longueur du vecteur est appel├ęe la norme, le module ou la magnitude . Pour le module vectoriel

bold a avec crochet de harpon droit audacieux sur le dessus

la notation est utilis├ęe:

barre verticale ouverte gras a avec fl├Ęche droite en gras au-dessus de la barre verticale ferm├ęe .

La magnitude du vecteur est un scalaire, c’est-├á-dire qu’il n’a pas de direction.

Direction d’un vecteur

Chaque vecteur non nul a une direction donn├ęe par la mesure de l’angle que le vecteur forme avec l’axe x positif.

Point d’application

C’est l’origine du vecteur.

Type de vecteur

Vecteur nul

Le vecteur dont l’origine et la fin co├»ncident est appel├ę nul. Le module du vecteur nul est ├ęgal ├á z├ęro.

Vecteur colin├ęaire

Les vecteurs situ├ęs sur une ligne ou des lignes parall├Ęles sont appel├ęs colin├ęaires.

Vecteurs ├ęgaux ou ├ęquivalents

Les vecteurs sont dits ├ęgaux s’ils sont colin├ęaires, ont la m├¬me longueur et la m├¬me direction. Lorsque les vecteurs ont la m├¬me direction, on dit qu’ils sont parall├Ęles . Si deux vecteurs ont des directions oppos├ęes, nous disons qu’ils sont antiparall├Ęles .

Vecteur de position

Tout vecteur qui a une position ordinaire, c’est-├á-dire le vecteur qui a son point initial ├á l’origine.

Vecteur d’unit├ę ou d’unit├ę

Un vecteur unitaire est le vecteur de longueur ├ęgale ├á un. Un vecteur unitaire dans la direction A est ├ęcrit avec le symbole ^ au-dessus de la lettre et se lit: Un chapeau.

Ajout de vecteur

Tout comme nous pouvons ajouter deux nombres, les vecteurs peuvent ├ęgalement ├¬tre ajout├ęs. En ajoutant deux vecteurs, nous obtenons un autre vecteur: le vecteur r├ęsultant . La somme des vecteurs peut ├¬tre faite graphiquement et math├ęmatiquement.

Graphiquement, nous ajoutons les vecteurs de la mani├Ęre suivante: nous pla├žons les fl├Ęches ensemble de telle sorte que la fin d’un vecteur touche l’origine du deuxi├Ęme vecteur. Le vecteur r├ęsultant sera un vecteur qui va de l’origine du premier vecteur ├á la fin du deuxi├Ęme vecteur. L’ordre des vecteurs dans la somme n’a pas d’importance car il suit la loi commutative. Autrement dit, A + B = B + A .

Lorsque nous avons les composantes x et y des vecteurs, nous ajoutons respectivement chaque composante:

gras A avec harpon droit gras avec crochet en haut gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras 2 gras virgule gras 4 gras entre parenth├Ęses droite gras virgule gras espace gras B avec harpon droit gras avec crochet en haut gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras 5 gras virgule gras 3 gras gras pile gras A gras plus gras avec harpon droit gras avec crochet en haut gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras 2 gras plus gras 5 gras virgule gras espace gras 4 gras plus gras 3 gras entre parenth├Ęses gauche gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche 7 gras virgule gras 7 parenth├Ęses droites en gras

Exemple d’ajout de vecteur

Un v├ęt├ętiste parcourt 3 km au nord puis 5 km ├á l’est. ├Ç quelle distance du point de d├ępart?

Pour d├ęterminer le d├ęplacement du cycliste ├á partir du point de d├ępart, nous utilisons la somme des deux vecteurs. La distance sera la magnitude du vecteur r├ęsultant. Dans ce cas, nous appliquons le th├ęor├Ęme de Pythagore:

gras Majuscule gras ├ęgal racine carr├ęe de gras parenth├Ęse gauche gras 3 km gras gras parenth├Ęse droite augment├ę en gras 2 gras espace gras plus gras parenth├Ęse gauche gras 5 km gras gras parenth├Ęse droite augment├ę en gras 2 extr├ęmit├ę gras racine ├ęgal ├á gras 5 gras virgule gras 83 km

Le cycliste est ├á 5,83 km du point de d├ępart.

Il est ├á noter que la somme des vecteurs n’est pas ├ęgale ├á la somme des grandeurs des vecteurs. Comme dans le cas pr├ęc├ędent, la magnitude du vecteur r├ęsultant (5,83 km) n’est pas ├ęgale ├á la somme des magnitudes des vecteurs au nord et ├á l’est (3 km + 5 km = 8 km).

Soustraction vectorielle

On peut soustraire deux vecteurs graphiquement et math├ęmatiquement. Math├ęmatiquement, le vecteur A moins le vecteur B est ├ęgal ├á la somme du vecteur A et du vecteur inverse de B :

gras A avec harpon droit avec crochet au-dessus de la parenth├Ęse gauche ├ęgale gras x indice gras 1 virgule gras espace gras gras et indice gras 1 gras entre parenth├Ęses droite gras virgule gras espace gras B avec harpon droit gras avec crochet bas au-dessus gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras x indice gras 2 gras virgule gras espace gras et indice gras 2 gras droite parenth├Ęses gras A avec harpon droit gras avec crochet bas au-dessus gras moins gras B avec harpon droit gras avec crochet bas au-dessus gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras x indice gras 1 gras virgule gras espace gras et gras indice 1 gras parenth├Ęse droite gras plus gras parenth├Ęse gauche gras moins gras x gras indice 2 grasvirgule gras espace gras moins gras et indice gras 2 gras parenth├Ęse droite gras ├ęgal ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras x indice gras 1 gras moins gras x indice gras 2 gras virgule gras espace gras et indice gras 1 espace gras gras moins gras parenth├Ęse et indice 2 droit

Graphiquement, nous transformons l’un des vecteurs en son vecteur inverse, puis nous les ajoutons normalement: nous pla├žons les fl├Ęches ensemble de telle sorte que la fin d’un vecteur touche l’origine du deuxi├Ęme vecteur. Le vecteur r├ęsultant sera un vecteur qui va de l’origine du premier vecteur ├á la fin du deuxi├Ęme vecteur.

Produit scalaire de vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs est not├ę comme suit:

bold A avec harpon droit gras avec crochet en haut gras par gras B avec harpon droit gras avec crochet en haut gras ├ęgal gras ABcos╬Ş gras barre verticale ouverte ├ęgale gras A avec harpon droit gras avec crochet en haut barre verticale ferm├ęe barre verticale ouverte B gras avec harpon droit gras avec crochet au-dessus de la barre verticale ferm├ęe bold cos╬Ş

Pour d├ęfinir graphiquement le produit scalaire, nous suivons les ├ętapes suivantes:

Le produit scalaire est une quantit├ę scalaire, pas un vecteur, et peut ├¬tre n├ęgatif, positif ou nul. Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est toujours nul.

Calcul du produit scalaire ├á l’aide des composants

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de leurs composants respectifs:

gras A avec harpon droit gras avec crochet au-dessus gras par gras B avec harpon droit gras avec crochet en haut gras ├ęgal gras A indice gras x gras B indice gras x gras plus gras Un indice gras et gras B indice gras y

Produit vectoriel de deux vecteurs

Le produit crois├ę de deux vecteurs, ├ęgalement appel├ę produit crois├ę, est not├ę comme suit:

B gras avec harpon droit audacieux avec crochet sur le dessus Multiplication crois├ęe audacieuse B gras avec harpon droit audacieux avec crochet sur le dessus

Le produit vectoriel est un vecteur. Pour obtenir le produit vectoriel, les deux vecteurs queue-├á-queue sont dessin├ęs sur le m├¬me plan. Nous mesurons l’angle entre les deux vecteurs puis:

B gras avec harpon droit gras avec crochet en haut gras m├¬me gras A avec harpon droit gras avec crochet en haut multiplication crois├ęe en gras gras B avec harpon droit gras avec crochet en haut

La grandeur du produit vectoriel est ├ęgale:

gras C gras ├ęgal gras AB gras espace gras sen╬Ş

Le produit crois├ę des vecteurs parall├Ęles ou antiparall├Ęles est toujours nul. Le produit crois├ę d’un vecteur avec lui-m├¬me est nul.

Composantes d’un vecteur

Les vecteurs peuvent ├¬tre d├ęcompos├ęs en leurs composantes verticales et horizontales. Autrement dit, lorsque le vecteur est repr├ęsent├ę en axes cart├ęsiens, la composante x est la mesure du vecteur en abscisse x et la composante et la mesure en axe y et .

Les composants d’un vecteur ne sont pas des vecteurs. Nous pouvons calculer les composantes du vecteur si nous connaissons sa magnitude et sa direction. ├Ç son tour, nous pouvons calculer la magnitude du vecteur si nous connaissons ses composantes en x et y , au moyen du th├ęor├Ęme de Pythagore:

barre verticale ouverte gras u avec hame├žon de harpon droit gras vers le bas au-dessus de la barre verticale ferm├ęe gras racine carr├ęe ├ęgale de gras u indice gras x exposant gras 2 gras plus gras u indice gras et exposant gras 2 racine de fin

Voir aussi plan cart├ęsien.

Applications des vecteurs en physique

Les vecteurs peuvent ├¬tre utilis├ęs pour repr├ęsenter des quantit├ęs physiques. G├ęn├ęralement en physique, les vecteurs sont utilis├ęs pour repr├ęsenter le d├ęplacement, la vitesse et l’acc├ęl├ęration. Les vecteurs sont une combinaison de grandeur et de direction et sont dessin├ęs sous forme de fl├Ęches. La longueur repr├ęsente la grandeur et la direction de cette quantit├ę est la direction vers laquelle pointe le vecteur.

Des vecteurs sont apparus ├á la fin du XIXe si├Ęcle pour exprimer les lois de l’├ęlectromagn├ętisme. Son utilisation est essentielle en physique, m├ęcanique, ing├ęnierie et autres sciences pour d├ęcrire math├ęmatiquement les forces.

Exercices vectoriels avec des solutions

Lors d’un concours d’orientation, les participants ont ├ęt├ę inform├ęs qu’ils devaient marcher 2 km 30┬║ Est puis 3 km 30┬║ Ouest, le premier arriv├ę remporte le prix. Un des participants, connaissant les vecteurs, a calcul├ę le point final. Comme l’a fait?

R├ęponse

Sachant que chacun des chemins peut ├¬tre repr├ęsent├ę par un vecteur, le vecteur r├ęsultant est la somme des vecteurs. Nous calculons chacune des composantes des vecteurs.

gras Un indice gras x gras ├ęgal en gras Acos ouvert parenth├Ęses gras 30 degr├ęs gras fermer les parenth├Ęses gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras 2 gras km gras parenth├Ęse droite gras parenth├Ęse gauche gras 0 gras virgule gras 86 gras parenth├Ęse droite gras ├ęgal virgule gras 1 km gras Un indice gras et gras ├ęgal ├ęgal gras Asen parenth├Ęses ouvertes gras 30 degr├ęs gras fermant les parenth├Ęses gras ├ęgal ├ęgal gras parenth├Ęses gauche gras 2 km gras gras parenth├Ęses droites gras parenth├Ęses gauche gras 0 gras virgule gras 5 gras parenth├Ęses droite gras ├ęgal km gras 1 indice gras x gras ├ęgal gras Bcos gras entre parenth├Ęses gauche gras 150 degr├ęs gras parenth├Ęses droite gras ├ęgal grascrochets ├á gauche gras 3 km gras crochets ├á droite gras crochets ├á gauche gras moins gras 0 gras virgule gras 86 gras crochets ├á droite gras ├ęgal ├ęgal gras moins gras 2 gras virgule gras 59 km gras B indice gras et gras ├ęgal gras Bsen gras crochets gauche 150 degr├ęs gras parenth├Ęses droite gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras 3 km gras gras parenth├Ęse droite gras parenth├Ęse gauche gras 0 gras virgule gras 5 gras parenth├Ęses droite gras ├ęgal gras 1 gras virgule gras 5 gras kmkm gras B indice gras et gras ├ęgal ├ęgal gras Bsen gras parenth├Ęse gauche gras 150 degr├ęs gras gras parenth├Ęse droite gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras 3 gras km gras parenth├Ęse droite gras parenth├Ęse gauche gras 0 gras virgule gras 5 gras ├ęgal gras virgule gras 1 gras ├ęgal parenth├Ęse droite gras gras 5 km graskm gras B indice gras et gras ├ęgal ├ęgal gras Bsen gras parenth├Ęse gauche gras 150 degr├ęs gras gras parenth├Ęse droite gras ├ęgal gras parenth├Ęse gauche gras 3 gras km gras parenth├Ęse droite gras parenth├Ęse gauche gras 0 gras virgule gras 5 gras ├ęgal gras virgule gras 1 gras ├ęgal parenth├Ęse droite gras gras 5 km gras

Avec les composantes x et y des vecteurs connus, nous pouvons calculer les composantes du vecteur r├ęsultant:

droit gras plus gras crochets gauches gras 1 gras.  gras 5 km gras gras parenth├Ęses droites gras ├ęgal gras 2 virgule gras gras 5 km gras

Avec les composantes du vecteur r├ęsultant, nous calculons la magnitude:

gras R gras ├ęgal racine carr├ęe de gras entre parenth├Ęses ├á gauche gras moins gras 0 gras virgule gras 86 km gras gras parenth├Ęse droite relev├ę en gras 2 gras plus gras parenth├Ęse gauche gras 2 gras virgule gras 5 km gras parenth├Ęse droite gras relev├ę en gras 2 extr├ęmit├ę gras racine m├¬me gras 2 virgule gras gras 64 km gras

Pour calculer la direction, nous trouvons l’angle au moyen des composantes de R:

gras th├¬ta gras ├ęgal ├ęgal gras arctan fraction num├ęrateur gras 2 gras virgule gras 5 km gras entre d├ęnominateur gras moins gras 0 gras virgule gras 86 fin fraction gras ├ęgal gras moins gras 70 gras virgule gras 97 degr├ęs gras

 

Étiquettes:

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publi├ęe. Les champs obligatoires sont indiqu├ęs avec *